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前節で、楽器やヒトの声の振動数の倍音構造を実測し、強度が大きい倍音が多数あるにもかかわらず最も振動数が低い「基音」が「音の高さ」を決めるという一見して不思議な事実を考察した。この節では、コンピューターソフトウェアを用いて、倍音構造にあたる振動数の純音を組み合わせて合成した音について音高を測定した。音高を決めるとされる「基音」を含まないミッシングファンダメンタルの音、さらに基音だけでなく低振動数の倍音を削除した合成音についても音高を検討し、脳がどのように音高を知覚するかを探ろうと試みた。このような試みは私の知る限りこれが最初であるようだ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2021.3.20 　森谷東平

　

１）合成音とメロディの作成および音高の測定

(A) 振動数発生
ソフトウェア：ToneGenerator (NCH社）
目的とする音について、複数の振動数と演奏する長さをいれる。各振動数の強度は同一とした。WavePadを起動させるFig.1　ToneGeneratorによる音の作成
  

(B) 音声ファイルの作成
ソフトウェア：WavePad (NCH社）
ToneGeneratorで作成した音を、ファイル形式.wav（または.mov3）で 保存する。Fig.2　WavePadによる音声ファイルの作成

  
(C)メロディの作成、wav形式で保存
ソフトウェア：Camtasia2（TechSmith社）
(B)で作成した音声ファイル（wav形式）を並べてメロディーとする。結果はやはりwav形式で保存する。Fig.3　Camtasia2によるメロディーの作成
(D)　音高の測定 スマートフォンのアプリである Pitch Analyzer (Supertintin Co.)をiPhone 11で使用した。測定時間は３〜５秒で表示値が安定したものを記録した。
　　　　　　
　

２）「倍音構造」が異なる合成音の比較     (  をクリックすると音が出ます。)　　　　　　


（各振動数は同じ強度である）
(a) 131Hzの基音C3「ド」と倍音からなる複合音
 
f1
131
f2
262
f3
393
f4
524
f5
655
f6
786
f7
917
f8
1048
 Wave pattern   Pitch
Analyzer [Hz]
D0-1 ○               C3
131
D0-2 ○ ○             C3
131
D0-3 ○ ○ ○           C3
131
D0-4 ○ ○ ○ ○         C3
131
D0-5 ○ ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-6 ○ ○ ○ ○ ○ ○     C3
131
D0-7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○   C3
131
D0-8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ C3
132
基音と複合音は音色が異なるが、耳で聞いても同じ高さであると聞こえる。Pitch Analyzerは、基音だけの音から、基音と２〜８倍音を含む音まで どれもC3の音高を示している。
基音に比較して倍音が多い音ほど豊かな雰囲気に聞こえる。 波形はどれも基音と同一の周期である。
(b) 131Hzの基音C3「ド」と奇数倍音からなる複合音
 
f1
131
f3
393
f5
655
f7
917
f9
1179
f11
1441
f13
1703
f15
1965
 Wave pattern   Pitch
Analyzer
[Hz]
D0-
1		 ○               C3
131
D0-
odd3		 ○ ○             C3
131
D0-
odd5		 ○ ○ ○           C3
131
D0-
odd7		 ○ ○ ○ ○         C3
131
D0-
odd9		 ○ ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-
odd11		 ○ ○ ○ ○ ○ ○     C3
131
D0-
odd13		 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○   C3
131
D0-
odd15		 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ C3
131
耳で聞くと、３倍音と５倍音を含む複合音はC3=131Hzより高く感じる。
Pitch Analyzerは、基音だけの音から、基音と奇数倍音７個を含む音まで どれも C3の音高を示している。波形はどれも基音と同一の周期である。


(c) 131Hzの基音C3「ド」と７個の倍音からなる複合音、および
それから低周波数の倍音を除いた音（ミッシングファンダメンタル）
 
f1
131
f2
262
f3
393
f4
524
f5
655
f6
786
f7
917
f8
1048
f9
1179
f10
1310
f11
1441		 Wave pattern   Pitch
Analyzer
[Hz]
D0-8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-8
mf1		   ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-8
mf2		     ○ ○ ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-8
mf3		       ○ ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-8
mf4		         ○ ○ ○ ○       C3
131
D0-8
mf5		           ○ ○ ○       C3
131
D0-8
mf6		             ○ ○       A#5
916
D0-8
mf7		               ○       C6
1046
D0-9
mf6		             ○ ○ ○     C3
131
D0-11
mf7		               ○ ○ ○ ○ C3
131
・耳で聞くと低周波数の倍音が無いほど高い音に聞こえる。
・Pitch Analyzerは、基音を含まずと７〜３個の倍音を含む音はどれも C3の音高を
示している。
・７倍音＋８倍音だけの音（Do-8mf6）は周期はC3を示さない。７倍音＋８倍音＋９倍音の音（Do-9mf6）あるいは８倍音＋９倍音＋１０倍音＋１１倍音の音（Do-11mf7）はC3の音高である。高い周波数の倍音シリーズでも３、４個が揃えば基音の音高を示すようだ。
(d) 131Hzの基音C3「ド」と７個の奇数倍音からなる複合音、および それから低周波数の倍音を除いた音（ミッシングファンダメンタル）
 
f1
131
f3
393
f5
655
f7
917
f9
1179
f11
1441
f13
1703
f15
1965
f17
2227
f19
2489
f23
2751
f25
3013		 Wave pattern   Pitch
Analyzer
[Hz}
D0-
odd15		 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○         C3
131
D0-
odd15
mf1		   ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○         C3
131
D0-
odd15
mf3		     ○ ○ ○ ○ ○ ○         C3
131
D0-
odd15
mf5		       ○ ○ ○ ○ ○         C3
131
D0-
odd15
mf7		         ○ ○ ○ ○         G4
393 
D0-
odd15
mf9		           ○ ○ ○        

C#4
288 
D0-
odd15
mf11		             ○ ○         C#4 283 
D0-
odd15
mf13		               ○         B6
1967
D0-
odd17
mf7		         ○ ○ ○ ○ ○       B3
244
D0-
odd19
mf7		         ○ ○ ○ ○ ○ ○     B3
243
D0-
odd23
mf9		           ○ ○ ○ ○ ○ ○   B3
244
D0-
odd25
mf9		           ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ B3
244

・耳で聞くと低周波数の倍音が無いほど高い音に聞こえる。
・Pitch Analyzerは、基音と７〜５個の奇数倍音を含む音はどれも C3の音高を 示している。
・ しかし、基音から７倍音が欠けた音では、９倍音以上の奇数倍音が６個を含む音（D0-odd19mf7）でもC3の音高を示さない 。
・この音（D0-odd19mf7）の波形の周期は基音と同一であり、周期が同一でも音高が等しいとは限らないことを示している。

　

３）「倍音構造」が異なる音によるメロディ（きらきら星）の比較

　　
　　　　(1) 純音のみからなる音
　　　　         Fundamental
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-1 Sol-1 La-1 Sol-1 Fa-1 Mi-1 Re-1 D0-1
C3
131		 G3
196

A3
220

 G3
196		 F3
175		 E3
165		 D3
147		 C3
131
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
こもったような印象の音である。
　　　　(２) 基音＋３個の倍音からなる音
　　　　　          ４ Harmonics
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-4 Sol-4 La-4 Sol-4 Fa-4 Mi-4 Re-4 D0-4
C3
131		 G3
196

A3
220

 G3
196		 F3
175		 E3
165		 D3
147		 C3
131
262 392 440 392 350 330 294 262
393 588 660 588 525 495 441 393
524 784 880 784 700 660 588 524
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。純音だけの音に比較して音に広がりを感じる。
　　　　(３) 基音＋７個の倍音からなる音
　　               　　８ Harmonics
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-8 Sol-8 La-8 Sol-8 Fa-8 Mi-8 Re-8 D0-8
C3
131		 G3
196

A3
220

 G3
196		 F3
175		 E3
165		 D3
147		 C3
131
262 392 440 392 350 330 294 262
393 588 660 588 525 495 441 393
524 784 880 784 700 660 588 524
655 980 1100 980 875 825 735 655
786 1176 1320 1176 1050 990 882 786
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
1048 1586 1760 1586 1400 1320 1176 1048
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。
　　
　　　(４) 基音＋４個の奇数倍音からなる音
　　　           ５ Odd Harmonics
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-
odd9		 Sol-
odd9		 La-
odd9		 Sol-
odd9		 Fa-
odd9		 Mi-
odd9		 Re-
odd9		 D0-
odd9
C3
131		 G3
196

A3
220

 G3
196		 F3
175		 E3
165		 D3
147		 C3
131
- - - - - - - -
393 588 660 588 525 495 441 393
- - - - - - - -
655 980 1100 980 875 825 735 655
- - - - - - - -
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
- - - - - - - -
1179 1764 1980 1764 1575 1485 1323 1179
音色に明瞭さを感じる。 音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。
　　(５) 基音を欠いた７個の倍音からなる音（ミッシングファンダメンタル）  Missing Fundamental ／７Harmonics　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-8
mf1		 Sol-8
mf1		 La-8
mf1		 Sol-8
mf1		 Fa-8
mf1		 Mi-8
mf1		 Re-8
mf1		 D0-8
mf1
C3
131
miss		 G3
196
miss		 A3
220
miss		 G3
196
miss		 F3
175
miss		 E3
165
miss		 D3
147
miss		 C3
131
miss
262 392 440 392 350 330 294 262
393 588 660 588 525 495 441 393
524 784 880 784 700 660 588 524
655 980 1100 980 875 825 735 655
786 1176 1320 1176 1050 990 882 786
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
1048 1586 1760 1586 1400 1320 1176 1048
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。

(６) 基音~3倍音を欠いた5個の倍音からなる音 （ミッシングファンダメンタル＋αMissing 3 Harmonics ／５Harmonics 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-8
mf3		 Sol-8
mf3		 La-8
mf3		 Sol-8
mf3		 Fa-8
mf3		 Mi-8
mf1		 Re-8
mf3		 D0-8
mf3
C3
131
miss		 G3
196
miss		 A3
220
miss		 G3
196
miss		 F3
175
miss		 E3
165
miss		 D3
147
miss		 C3
131
miss
262
miss		 392
miss		 440
miss		 392
miss		 350
miss		 330
miss		 294
miss		 262
miss
393
miss		 588
miss		 660
miss		 588
miss		 525
miss		 495
miss		 441
miss		 393
miss
524 784 880 784 700 660 588 524
655 980 1100 980 875 825 735 655
786 1176 1320 1176 1050 990 882 786
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
1048 1586 1760 1586 1400 1320 1176 1048
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。
　

３）「倍音構造」の音とミッシングファンダメンタルの音を交互に替えたメロディ（きらきら星）による音高の比較

　(１１) ８個の音 と１〜３倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
　　　　8 Harmonics + 5 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf3		 Sol-8 Sol-8
mf3		 La-8 La-8
mf3		 Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf3		 Mi-8 Mi-8
mf3		 Re-8 Re-8
mf3		 D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4
f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5
f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6
f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
８倍音までを含む複合音と３個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル＋αが同じ音高であることがより確かに感じられる。
　(１２) ８個の音 と１〜５倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
　　　　　8 Harmonics + 3 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf5		 Sol-8 Sol-8
mf5		 La-8 La-8
mf5		 Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf5		 Mi-8 Mi-8
mf5		 Re-8 Re-8
mf5		 D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 - f4 - f4 - f4 f4 - f4 - f4 - f4
f5 - f5 - f5 - f5 f5 - f5 - f5 - f5
f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6
f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
８倍音までを含む複合音と比べ５個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル＋αは同じ音高であると感じられる。
　(１３) ８個の音 と１〜６倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
　　　　　8 Harmonics + 2 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf6		 Sol-8 Sol-8
mf6		 La-8 La-8
mf6		 Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf6		 Mi-8 Mi-8
mf6		 Re-8 Re-8
mf6		 D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 - f4 - f4 - f4 f4 - f4 - f4 - f4
f5 - f5 - f5 - f5 f5 - f5 - f5 - f5
f6 - f6 - f6 - f6 f6 - f6 - f6 - f6
f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
８倍音までを含む複合音と比べ６個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル＋αは高い音に聞こえる。
　(１４) ８個の音 と１〜７倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
　　　　　8 Harmonics + 1 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf7		 Sol-8 Sol-8
mf7		 La-8 La-8
mf7		 Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf7		 Mi-8 Mi-8
mf7		 Re-8 Re-8
mf7		 D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 - f4 - f4 - f4 f4 - f4 - f4 - f4
f5 - f5 - f5 - f5 f5 - f5 - f5 - f5
f6 - f6 - f6 - f6 f6 - f6 - f6 - f6
f7 - f7 - f7 - f7 f7 - f7 - f7 - f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
８倍音までを含む複合音と比べ８倍音だけの音は明らかに高い音に聞こえる。
　(１５) 基音 と１〜３倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
　　　　Fundamental  + 5 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-1 D0-8
mf3		 Sol-1 Sol-8
mf3		 La-1 La-8
mf3		 Sol-1 Fa-1 Fa-8
mf3		 Mi-1 Mi-8
mf3		 Re-1 Re-8
mf3		 D0-1
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- f4 - f4 - f4 - - f4 - f4 - f4 -
- f5 - f5 - f5 - - f5 - f5 - f5 -
- f6 - f6 - f6 - - f6   `f6 - f6 -
- f7 - f7 - f7 - - f7   f7 - f7 -
- f8 - f8 - f8 - - f8   f8 - f8 -
基音の各音と比べ３個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル＋αは同じ音高であるように聞こえる。
　(１６) 基音 と１〜５倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
　　　　Fundamental +  3 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-1 D0-8
mf5		 Sol-1 Sol-8
mf5		 La-1 La-8
mf5		 Sol-1 Fa-1 Fa-8
mf5		 Mi-1 Mi-8
mf5		 Re-1 Re-8
mf5		 D0-1
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- f6 - f6 - f6 - - f6 - `f6 - f6 -
- f7 - f7 - f7 - - f7 - f7 - f7 -
- f8 - f8 - f8 - - f8 - f8 - f8 -
基音の各音と比べ５個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル＋αは同じ音高であるように聞こえる？。

４）まとめ

１．C３（ド）の純音（１３１Hz)を例として、その周波数の整数倍の純音（倍音）を組み合わせた複合音はどれもC３（基音）に対応する音高であることが音高検知器Pitch Analyzerにより示された。
２．同様に、奇数倍の純音（倍音）を組み合わせた複合音はどれもC３（基音）に対応する音高である。
３．同様に、１〜８倍音を含む複合音から基音の純音（１３１Hz)を除いたミッシングファンダメンタルの音もC３（基音）に対応する音高である。１〜１５倍音の奇数倍音を含む複合音から基音の純音（１３１Hz)を除いた音も同様である。
４．基音に加えて低振動数の倍音を除いた音（ミッシングファンダメンタル＋α）でもC３（基音）に対応する音高を示す例がある。ただし、高振動数の倍音の組み合わせただけでは基音の音高を示さない例も多い。
５．倍音を含む複合音が基音の音高を示す理由として、複合音の波形の周期が基音の周期と一致することが主たる要因と考えられる。ただし、高振動数の倍音の組み合わせた音ではその関係が成立していない例も多い。
６．いろいろな複合音を用いたメロディーの結果から、C３以外の音についても、以上と同様なことが成立していると考えられる。

音の高さとは
楽器の音やヒトの声は、通常基音と整数倍音の複合音であり、その高さpitchは基音で決まり、倍音の構造がその音色timbreを決める。複合音の音高を基音が決めるメカニズムの主要な要素として、複合音が基音の周期と一致することがあげられる。